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    2020-07-12改变历史进程的17个方程式

    编译来源:The 17 Equations That Changed The Course Of History

    数学围绕在我们四周,它在许多方面型塑(shaped)我们对这个世界的理解。

    2013年,身为数学家,也是科普作者的伊恩.史都华(Ian Stewart)出版了《改变世界的17个方程式》(The 17 Equations that Changed the World)一书。近来,我们在Dr. Paul Coxon的Twitter (由数学辅导老师,也是部落客的Larry Phillips所注册)上发现这个他摘录书中方程式所成的简便表格:

     改变世界的 17 个方程式

    伊恩\(\cdot\)史都华

     1.毕氏定理
    Pythagoras’s Theorem\(a^2+b^2=c^2\)毕达哥拉斯(Pythagoras)
    公元前 530 年 2.对数
    Logarithms\(\log xy=\log x+\log y\)纳皮尔(John Napier)
    1610 年3.微积分
    Calculus\(\displaystyle\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\) 牛顿(Newton)
    1668 年4.万有引力定律
    Law of Gravity\(\displaystyle F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\)牛顿(Newton)
    1687 年5.-1 的平方根
    The Square Root of Minus One\(i^2=-1\)欧拉(Euler)
    1750 年6.欧拉的多面体公式
    Euler’s Formula for Polyhedra\(V-E+F=2\)欧拉(Euler)
    1751 年7.常态分布
    Normal Distribution\(\displaystyle \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)高斯(C. F. Gauss)
    1810 年8.波动方程式
    Wave Equation\(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\)达朗贝尔(J. d’Almbert)
    1746 年9.傅利叶变换
    Fourier Transform\(\displaystyle\overline{f}(\omega)=\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-2\pi ix\omega}\mathrm{d}x\)傅利叶(J. Fourier)
    1822 年10.纳维-斯托克斯方程式
    Navier-Stokes Equations\(\displaystyle\rho(\frac{\partial v}{\partial t}+v\cdot \triangledown v)=-\triangledown p+\triangledown \cdot T+f\)纳维(C. Navier),斯托克斯(G. Stokes)
    1845 年11.马克士威方程组
    Maxwell’s Equations\(\displaystyle\triangledown\cdot E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\\\triangledown\cdot B=0\\\displaystyle\triangledown\times E=-\frac{\partial B}{\partial t}\\\displaystyle\triangledown\times B=\mu_0(J+\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t})\)马克士威(J. C. Maxwell)
    1865 年12.热力学第二定律
    Second Law of Thermodynamics\(\mathrm{d}S\ge 0~(S=k\cdot \log W)\)波兹曼(L. Boltzmann)
    1874 年13.相对论
    Relativity\(E=mc^2\)爱因斯坦(Einstein)
    1905 年14.薛丁格方程式
    Schrodinger’s Equation\(\displaystyle i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=\hat{H}\Psi\)薛丁格(E. Schrodinger)
    1927 年15.资讯理论
    Information Theory\(H=-\sum_xp(x)\log p(x)\)夏农(C. Shannon)
    1949 年16.混沌理论
    Chaos Theory\(x_{t+1}=kx_t(1-x_t)\)梅(Robert May)
    1975 年17.布莱克-休斯方程式
    Black-Scholes Equation\(\displaystyle\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S}+\frac{\partial V}{\partial t}-rV=0\)布莱克(F. Black),休斯(M. Scholes)
    1990 年

    (原文中错误均已为作者与责任编辑更正。)

    对于这些塑造数学及人类历史的美妙方程式,下面有更多的介绍:

    改变历史进程的17个方程式1.毕氏定理:这个定理是我们理解几何的基础。它描述平面上一个直角三角形三边之间的关係:两个短边(\(a\) 和 \(b\))平方相加,可以得到长边(\(c\))的平方。

    在某些方面,这个关係确实将我们熟知的平面欧氏几何和曲面的非欧几何分开来。例如,画在球面上的直角三角形就不用遵守毕氏定理。

    2. 对数:对数(函数)是指数函数的反函数。一个特定底数的对数,告诉你用这个底数来表示这个数所需要的指数(power)。譬如 \(10^0=1\),所以底数为 \(10\) 的 \(1\) 之对数 \(\log 1=0\);\(10^1=10\),所以 \(\log 10=1\);\(10^2=100\),所以 \(\log 100=2\)。

    方程式 \(\log ab=\log a+\log b\),展示对数最有用的应用:将乘法变成加法。一直到计算机发展之前,这是快速进行大数字相乘最常用的方法,大大地加快在物理、天文,以及工程上的计算。

    3. 微积分:这裏给的公式是微积分上导数的定义,导数是衡量两个量之间变化关係的比率。比方说,我们考虑速度,这是位置对时间的导数 ─ 假如你每小时用 \(3\) 英里的速度行走,表示你以每个小时 \(3\) 英里改变你的位置。

    一般而言,多数科学家有兴趣的是了解事物如何改变,导数和积分 ─ 微积分另一个基础 ─ 正是数学家与科学家理解变化的关键。

    4. 万有引力定律:牛顿的万有引力定律描述两个物体间的吸引力 \(F\),由常数 \(G\)、两物体的质量 \(m_1\) 和 \(m_2\),以及两物体之间的距离 \(r\) 而决定。牛顿的定律是科学史非常出色的部份 ─ 它几乎完美地解释行星为何依照他们所遵循的方式移动。同样出色的是它的普遍性 ─ 不只是适用于地球上的重力如何作用,或是在我们的太阳系,也包括宇宙的任何角落。

    牛顿的引力有效维持了200年,直到被爱因斯坦的广义相对论取代为止。

    5. \(-1\) 的平方根:数学家总是在扩展数字到底是什幺的概念,从自然数,到负数、分数、和实数。\(-1\) 的平方根(经常被写作 \(i\)),完成这个过程,并且引出複数。

    在数学上,複数是非常优雅的。代数能完美依循我们所要的方式运作 ─ 任何方程式都有複数解,不一定有实数解:像 \(x^2+4=0\) 没有实数解,但它有两个複数的解:\(\pm 2i\)。微积分可以扩展到複数,经由这幺做,我们发现这些数字一些惊人的对称性和性质,这些性质使得複数在电路和信号处理上变得不可或缺。

    改变历史进程的17个方程式

    正方体

    6. 欧拉的多面体公式:多面体是多边形三维的版本,像立方体就是其中一个例子。多面体的角落就称为顶点,连接顶点的线段称为边,覆盖它的多边形就称为面。一个立方体有 \(8\) 个顶点,\(12\) 条边,和 \(6\) 个面。倘若将顶点数和面数加起来,再减去边数,得到 \(8+6-12=2\)。欧拉的公式指出,只要你的多面体是良态的(well behaved),将顶点数和面数相加,再减去边数,你总会得到 \(2\)。无论你的多面体有 \(4\)、\(8\)、\(12\)、\(20\) 或是任意面数,都将为真。

    欧拉的发现是现在被称为拓朴不变量的最初例子之一 ─ 同类形状所共享的某些数字和性质彼此都相似。良态的多面体都有 \(V+F-1=2\)。这个发现,连同欧拉哥尼斯堡七桥问题(the Bridges of Konigsburg Problem)的解法,一起为现代物理学不可或缺的数学分支拓朴学的发展铺好道路。

    7.常态分布:有着熟知钟形曲线图形的常态机率分布,在统计学中无处不在。物理、生物以及社会科学上经常运用常态分布来模式化各种性质,原因之一是常态曲线可以用来描述大量独立过程(independent processes)的行为。

    改变历史进程的17个方程式

    常态分布

    8.波动方程式:这是一个微分方程,规範波函数对时间与空间变数的二次微分的方程式,其中 \(c\) 代表波的传递速率。波动方程式可描述波的行为 如振动的吉他弦,石块丢出后池塘产生的涟漪,白炽灯泡产生的光等。波动方程式虽然只是一个微分方程式,解决这个方程所发展出的技巧开启了理解其他微分方程的大门。

    9. 傅立叶变换:想要理解複杂的波动结构,像是人的说话,傅立叶变换是不可缺少的。给定一个複杂、凌乱的波动结构,例如人的谈话录音,傅立叶变换允许我们将这凌乱的结构分解成一些简单波的合成,大大地简化分析的工作。

    傅立叶变换是现代信号处理和分析,以及数据压缩的核心。

    10. 纳维-斯托克斯方程式:和波动方程式相同,这也是一个微分方程。纳维-斯托克斯方程式描述流体的行为 ─ 水在管道的流动,空气流过机翼,或是烟从点燃的香烟上升起。儘管利用电脑模拟流体运动,我们可以得到纳维-斯托克斯方程式极佳的近似解,但能否构造出这个方程式数学的精确解,仍然是待解的问题(有百万美元奖金)。

    11.马克士威方程组:这是由四个描述电\((E)\)与磁\((H)\)的行为和关係之微分方程所组成的方程组。马克士威方程组之于古典电磁学,如同牛顿的运动定律和万有引力定律之于古典力学 ─ 他们是我们解释电磁学在日常尺度下如何作用的基础。如要推广到原子的尺度,就有赖量子力学的修正,这门学问称为量子电动力学。清楚的是,这些优美的马克士威方程式是在人类尺度下,电磁学以及光学─光即电磁波─能够被良好描述的近似方程组。

    12. 热力学第二定律:在一个封闭的系统中,熵\((S)\)总是保持稳定或逐渐增加,而波兹曼写下的方程式更赋予了熵统计的意义。简单地说,热力学的熵是度量一个系统的紊乱程度。一个开始时有序,但不平衡的系统 ─ 例如,靠近寒冷区域的热点区域 ─ 总是趋向平衡的紊乱状态,热会从热区流向冷区,直到均匀分布为止。大多数的物理过程都是不可逆的 ─ 亦即宇宙的熵会一直变大,这隐含了时间是有方向性的。例如我们将冰块放入一杯热咖啡中,我们总是看到冰块融化,却未曾见过一杯咖啡生出冰块而咖啡自己变热。

    13. 相对论:爱因斯坦用狭义和广义相对论从根本上改变了物理的进程,经典的方程式 \(E=mc^2\) 说明质量与能量的转换关係。狭义相对论引进光在真空中的速度是固定不变的,以及不同速度移动的人对时间流逝及空间距离感受并不相同的概念。广义相对论则认为重力是时间与空间本身的弯曲和摺叠,自牛顿的定律以来,这是我们对重力的理解首次巨大的改变,对于我们了解宇宙的起源、构造,和最终结局,广义相对论是不可或缺的。

    14. 薛丁格方程式:这是在量子力学上最主要的方程式,如同广义相对论在最大尺度上说明我们的宇宙,这个方程则是支配原子和次原子粒子的行为。

    现代量子力学是历史上非常成功的科学理论 ─ 所有我们做的实验结果都和量子力学的预测完全一致。最现代的技术也需要量子力学,举凡核能、肇基于半导体的电脑,以及雷射等都建立在量子现象上。

    15.资讯理论:这裏给出的方程式是为了夏农资讯熵(Shannon information entropy)。如同前述,热力学的熵是对紊乱的一种度量,这裏指的是对讯息资讯量的度量 ─ 一本书,一张网路上寄送的JPEG图片,或是任何可用符号表示的事物。讯息的夏农熵说的是在不漏失内容的情形下,讯息可以被压缩多少的下限。

    夏农的熵度量引起资讯理论的数学研究,他的成果是今日我们如何在网路上沟通的核心。

    16.混沌理论:这个方程式是梅的二次多项式映射(May’s logistic map),它描述一种通过时间演变的过程 ─\(x\) 的下一个时间世代 \(x_{t+1}\)─ 由方程式的右边给出,依赖 \(x\) 目前的世代 \(x_t\)。\(k\) 是一个选择的常数,对于某些 \(k\) 值,映射会显示混沌的行为:如果从某些特殊的初始值 \(x\) 开始,过程将演化出一种结果,如果由其他的初始值开始,甚至非常非常靠近第一个值,过程将演化出完全不同的结果。我们所见的混沌行为 ─ 对初始条件非常敏感 ─ 在许多领域都是如此。天气是个典型的例子 ─大气条件的一个微小改变可以导致几天后完全不同的天气系统,这个概念最常提及的说法就是「蝴蝶效应」。

    17.布莱克-休斯方程式:另一个微分方程,布莱克-休斯方程式描述金融专家和商人如何找到衍生性商品的价格。衍生性商品 ─ 基于某些潜在资产的金融商品,例如股票 ─ 一个现代金融体系的主要部份。

    布莱克-休斯方程式允许金融专家利用衍生性商品的特性和潜在资产来计算这些金融商品的价值。

    改变历史进程的17个方程式

    这些是芝加哥期交所标準普尔500指数的交易员,你不会发现有人没听过布莱克-休斯方程式。

    本文由台湾大学科学教育发展中心约稿编译。